Duration

O que é duration?

Duration é um termo inglês que indica a sensibilidade de um título de renda fixa à variação da taxa de juros.

Investimentos de renda fixa possuem dois riscos principais:

• Risco de Crédito: risco de que o devedor não honre o pagamento; e
• Risco dos Juros: risco de variação nas taxas de juros que modifique o preço do título ou torne o rendimento real negativo.

O duration analisa o risco representado pela variação dos juros.

Há algumas maneiras distintas de se analisar o duration. Neste artigo falaremos sobre duas delas:

• Duration de Macaulay; e
• Duration modificado.

Valor Presente

Tìtulos de renda fixa sofrem variações em seu preço de maneira inversamente proporcional à taxa de juros:

• Juros sobem: preço dos titulos cai; e
• Juros caem: preço dos títulos sobe.

Isso ocorre porque o preço de um ativo de renda fixa é dado pelo valor presente do seu fluxo de pagamentos (fórmula 1).

A variação nos preços será maior quanto maior for o prazo para o pagamento .

$$ VP = {Vf \over (1 + t)^n} $$

Onde:

• Vf: valor do pagamento em data futura;
• t: taxa de juros que remunera o título; e
• n: período entre a data de hoje e a data de pagamento.

Duration de Macaulay

O Duration de Macaulay (MacD) é um indicador criado pelo economista canadense Frederick Macaulay.

Este indicador calcula uma média ponderada do período de pagamentos de um título de renda fixa considerando o fluxo dos valores a serem pagos e o período para o seu pagamento.

O resultado será um número de períodos. Se o cálculo foi feito considerando semestres, o resultado será em semestres. Se o cálculo foi feito em anos, o resultado será em anos etc.

Em títulos prefixados que pagam cupons (tal como a NTN-F) parte do pagamento do título será feito antes do vencimento, através dos cupons e parte será feito no dia do vencimento, quando é pago o valor de face do título mais o último cupom.

Para tentar entender como uma variação na taxa de juros pode influenciar o preço desses títulos seria preciso analisar seu efeito para cada pagamento de cupom além do pagamento final.

O duration de Macaulay simplifica esse processo obtendo um valor médio (uma média aritmética ponderada pelos prazos) para o prazo de todos os pagamentos que o título realizará.

Ou seja, pagamentos com prazos mais longos terão mais peso na média (justamente, porque, conforme é possível visualizar na fórmula 1, quanto mais longe o pagamento, mais uma variação na taxa de juros afetará o valor presente), enquanto pagamentos com prazos mais curtos terão menos peso.

Dessa forma, o duration de Macaulay sempre será:

• Maior ou igual a zero; e
• Menor do que o prazo de vencimento do título (quando houver o pagamento de cupons).

Uma representação gráfica do duration de Macaulay pode ser vista na figura 1.

O indicador é uma espécie de ponto médio que equilibra os fluxos de pagamento. Caso os pagamentos mais próximos sejam de valor mais elevados, o duration será menor e vice-versa.

Assim, um título que não paga cupons terá o duration igual ao prazo de vencimento, enquanto títulos que pagam cupons terão duration menores do que o prazo de vencimento.

Cálculo do Duration de Macaulay

O cálculo do duration de Macaulay funciona da seguinte maneira (fórmula 2):

• Descobre-se o valor presente de cada pagamento considerando a taxa de juros praticada no momento;
• Multiplica-se esse valor pelo período de pagamento;
• Divide-se o resultado pelo valor presente dos pagamentos (que o é o preço pelo qual o título está sendo negociado) ;e
• Soma-se o total obtido.

$$ MacD = { \displaystyle\sum_{t=1}^n \Bigg ( ti \times {VPi \over V} \Bigg) } $$

Onde:

• ti: tempo em períodos até o pagamento i;
• VPi: valor presente do pagamento i; e
• V: valor presente de todos os fluxos de pagamento (preço do título).

Exemplo Duration de Macaulay

Considere um título que vencerá em 5 anos e que pague cupons anuais com taxa de 4,00% ao ano, sendo seu valor de face de R$1.000,00.

Considerando que a taxa de juros a que o título negocia atualmente seja de 4,50%, vamos calcular o MacD.

O fluxo de caixa esperado desse título é:

Em seguida, é preciso calcular o valor presente (VP) de cada pagamento. Por exemplo, para o pagamento do primeiro cupom teremos:

$$ VP = {40 \over {(1+0,045)^1}} = 38,28 $$

O próximo passo é ponderar o valor pelo tempo:

$$ ti \times VPi = {1 \times 38,28} = 38,28 $$

Em seguida, repetimos o processo para todos os pagamentos chegando à tabela da figura 2:

A partir daí, basta dividir o total dos valores presentes ponderados (Ti x VPi) pelo total dos valores presentes (VPi):

$$ MacD = {4.523,61 \over 978,05} = 4,63 $$

Concluímos, então, que este titulo possui um MacD de 4,63 anos.

Análise

O Macd pode ser utilizado para comparar dois títulos.

Por exemplo, considere um título A cujo MacD seja de 4,63 anos e um título B cujo Macd seja de 5,00 anos.

Por possuir um Macd maior, o título B possui mais sensibilidade à variações na taxa de juros quando comparado ao título A.

Duration Modificado

Esse indicador reflete a relação entre o preço de um título e a taxa de juros que o remunera.

Assim, supondo um título com duration modificado (ModD) de 4,50, teremos que, para cada 1,00% de variação na taxa de juros, o preço do título irá variar em 4,50%.

O ModD pode ser entendido como a derivada da curva preço-taxa (figura 4):

Dessa forma, quanto maior o ModD, maior o risco relativo à variação na taxa do título.

Cálculo do Duration Modificado

A forma mais simples de calcular o ModD é utilizando o MacD, através da fórmula 3:

$$ ModD = { MacD \over {1 + {\Large Yk \over k}}} $$

Onde:

• MacD: duration de Macaulay do título;
• Yk: Rendimento até o vencimento; e
• k: período de apuração do rendimento.

Por exemplo, para um título que paga juros equivalentes de 6,00% ao ano, Yk será 6,00% e k será 1.

Já para um título que cuja apuração do rendimento fosse semestral a uma taxa equivalente de 6,00% ao ano, Yk serial igual a 6,00% e k seria igual a 2.

Exemplo Duration Modificado

Vamos calcular o ModD para o título cujo MacD calculamos anteriormente, considerando a taxa de rendimento atual do título como sendo 4,50%.

$$ ModD = {4,63 \over {1 + {\Large 0,045 \over 1} }} = 4,43 $$

Para descobrir a relação entre o preço do ativo e variações na taxa de juros, utiliza-se a fórmula 5:

$$ Variação \% = -1 \times ModD \times Variação\,na\,taxa $$

Assim, digamos que a taxa do título subiu em 100 pontos base, chegano a 5,60%. Teremos então:

$$ Variação \% = -1 \times 4,43 \times 0,01 = 4,43\% $$

O que esse resultado nos diz é que, para cada variação de 1,00% na taxa, o preço do título sofrerá uma variação inversa de 4,43%.

Prazo Médio Ponderado e Duration

No Brasil, uma determinação do Conselho Monetário Nacional define a fórmula oficial para o cálculco do prazo médio ponderado (PMP) — fórmula 6:

$$ PMP = { \displaystyle\sum_{t=1}^n \Bigg ( ti \times {PVi \over V} \Bigg) \times {1 \over 252} } $$

Onde:

• ti: tempo em dias úteis até o pagamento i;
• VPi: valor presente do pagamento i; e
• V: valor presente de todos os fluxos de pagamento (preço do título).

Observe que a fórmula 6 é basicamente a mesma fórmula do duration de Macaulay (fórmula 2), porém considerando os períodos dos fluxos em dias úteis.

Utilizando a fórmula do PMP, podemos calcular o prazo médio para qualquer frequência de pagamentos, mesmo aqueles que não sejam periódicos.

Carteira de Investimentos

Através da fórmula do PMP pode-se, também, calcular o prazo médio de uma carteira de títulos, utilizando a participação do título na carteira como um fator de ponderação (Figura 5):